第5章：不確実性

逐次決定問題を橋渡しする、第I巻 — 問題の枠組み化 · Warren B. Powell

逐次決定問題は必ず不確実性に対処しなければならず、これは時間をかけて決定を下す上で最も困難な側面であることが多い。不確実性がシステムの性能に影響を与える方法には、次の3つがある。

1. ある時点で下した決定が正しく実行されない。
2. 決定を下した際に見積もった性能と、実際にその決定が生み出すシステムの性能が一致しない。
3. 時間を先へ進むにつれて生じる変化のために、現在の決定が将来に与える影響が正しく見積もられていない。

不確実性が性能に影響を与える方法としては3つしか挙げていないが、不確実性は多くの形態で生じるため、モデリングの過程でしばしば見落とされる不確実性の形態もある。実際、最適化ツールの利用のほとんどは、あらゆる形態の不確実性を無視しており、これは典型的には、いかなる形態の不確実性を明示的にモデル化しても不確実性が劇的に増大してしまうことを反映している。

本章の目的の一つは、不確実性が生じ得るさまざまな方法を明らかにすることである。これは、モデルがすべての形態の不確実性を組み込む必要があるという意味ではない。しかし、ある形態の不確実性を無視するという決定は、モデラーがそれを見落としたからではなく、明示的な選択であるべきである。

12種類の不確実性 {#12classesofuncertainty}

不確実性の発生源を特定する一つの方法は、数理モデルから逆向きに考えることである。以下は、不確実性がモデルにどのように入り込み得るかという観点から作成された12種類の不確実性である。サプライチェーンの管理、エネルギーシステム、あるいは公衆衛生問題の解決といった複雑な問題は、これら12種類すべてを含み得る一方で、チェスをするといった単純な問題では1種類だけで済むこともある。

これらの種類には多少の重複があるため、不確実性の発生源をどこに分類すべきか多少あいまいであっても心配する必要はない。重要なのは、できるだけ多くの異なる形態の不確実性を特定することである。

1. 観測誤差 – これは、環境から観測しなければならない量やパラメータに生じる誤差を表す。例としては以下が挙げられる。
   • コンピュータ上に表されている製品の現在の在庫が、実際に手元にあるものと一致しない場合。
   • がんを検出するための患者の医療用X線画像。
   • 特定の候補者を支持する有権者の割合。
2. 外生的不確実性 – これは、決定を下した後にシステムに到達する情報であり、例えば以下のようなものである。
   • 市場で販売されている製品に対する需要。
   • 株価の変化。
   • ある都市から次の都市まで運転するのに要する時間。
   • 明日入金または引き出される可能性のある現金の額。
   • 患者が投薬の種類にどのように反応するか。
3. 予後的不確実性 – これは、需要、価格、移動時間(予測し得るあらゆる量)の予測に生じる誤差である。
4. 推論的不確実性 – これは、今現在の世界の状態についての推定に生じる不確実性を捉えるものである。これには以下のようなものが含まれ得る。
   • 価格の変化に市場がどのように反応するか。価格が5パーセント上昇すると需要が10パーセント低下すると考えるかもしれないが、実際の値は12パーセント低下する場合もある。
   • がん患者がステージ2だと思っているが、実際はステージ3かもしれない。乳がんを検出しても、他の臓器への転移を見落とすかもしれない。
   • 大統領選挙運動において、主要な市場に1,000万ドルの広告費を投じれば候補者の支持率が2パーセント上昇すると考えるかもしれないが、実際にはそれより高くなることも低くなることもある。
5. 実験的不確実性 – これは、研究室、シミュレータ、あるいは現場のいずれかで実験を繰り返し行う際に生じるばらつきを表す。
   • あるメーカーがシリコンウェハーの製造プロセスの実験を行う。試験を10回繰り返すと、収率が70パーセントから90パーセントの範囲でばらつく。
   • ある企業が、5つの異なるテスト市場で実行することにより新しいマーケティングキャンペーンを評価している。市場間、また時間経過に伴ってばらつきが生じる。
   • 在庫発注方策の性能を検証するためにコンピュータシミュレータが使用される。シミュレータを実行するたびに異なる結果が生じる。
6. モデルの不確実性 – これは複数の不確実性の発生源を包含する包括的な概念であるが、最も重要なものの一つは、あるプロセスが時間の経過とともにどのように推移するかについてのモデルの不確実性である。例としては以下が挙げられる。
   • 炭素排出量を制御する政策の変化に対して気候がどのように反応するか。
   • 患者がインスリン注射にどのように反応するか。
   • ワクチン配布に関する政策の変化に応じて、集団内で疾病がどのように広がるか。
7. 遷移的不確実性 – これは、システムが制御に対してどのように反応するかに含まれるノイズである。最も単純な例は、風にあおられるロケットや航空機の飛行経路を制御することであろう。通常、システムの推移は既知で決定論的であると仮定するが、それは(風のような)外生的なプロセスの影響を受ける。
8. 実装の不確実性 – 決定したことと、実際に現場で実行される決定との間には差が生じ得る。例えば以下のとおりである。
   • 医師が特定の薬剤を処方するが、患者がそれを服用しない、あるいは誤った用量を服用する。
   • 科学者が特定の材料の組み合わせを試験したいと考えるが、インターンが誤った品目を発注する(このような誤りが大きな発見を生むこともある!)。
   • 電力網が午後1時に発電機を稼働させるよう指示するが、現地のオペレーターが発電機を稼働させるのは午後2時になってからである。
9. 伝達の誤り – 現場への指示が単純に誤って伝わることがある。指示を受け取った人物は、要求されたとおりに実行していると考えていても、実際には指示を聞き取れなかったり、理解し損ねたりしていることがある。
10. アルゴリズムの不安定性 – アルゴリズムを繰り返し実行すると異なる解が返される場合がある。
    • 複雑な問題では、しばしば変動要素をもたらす高度なアルゴリズムの使用が必要となり、これはアルゴリズムが並列処理を用いる際によく生じる。並列プロセッサの速度によってどれが先に終わるかが変わり、それがアルゴリズム全体の経路に影響を与えることがある。
    • 確率的最適化問題を解くためのアルゴリズムは、しばしばモンテカルロサンプリングに依存しており、アルゴリズムを実行するたびに異なる結果が生じる(これは大規模言語モデルを実行する際にも見られる)。
11. 目標の不確実性 – トラックの配車、金融資産の取引、エネルギー契約の入札など、意思決定に人員のグループを必要とする企業では、人によって重視する性能指標が異なるため、ばらつきが生じ得る。
12. 環境の不確実性 – ここでの「環境」は、気候、あるいは(政策や関税に影響し得る)政治情勢、あるいは(優先事項の変化をもたらす)企業の新しい経営陣を反映している場合がある。

選定されたアプリケーションからの例

第2章で紹介したアプリケーションのいくつかについて、12種類それぞれの例を見てみるとよい理解が得られる。各アプリケーションについて、それぞれの種類の不確実性の例を一つ以上説明するが、単純なアプリケーションでは12種類すべての不確実性が存在するわけではないことに注意されたい。ここでの本当の目的は、できるだけ多くの不確実性の発生源を認識することであることを忘れてはならない。これらの不確実性が決定を下す過程にどのように反映されるかについては、今後の巻で扱う。

投資信託の現金管理

投資信託は、個人投資家と機関投資家の双方からの償還請求に応じるため、また入金が行われる際に、どれだけの現金を手元に保有すべきかを決定しなければならない。

最適な糖尿病治療の発見

糖尿病患者は、薬剤(インスリンポンプの使用を伴う場合もある)と食事の組み合わせを用いて血糖値を管理しなければならない。

サプライチェーン管理

サプライチェーンでは、システム全体にわたって調整しなければならない在庫を管理する必要がある。

ナロキソンキットの配分

州機関は、患者を治療している地域の診療所や医療専門家のニーズを満たすため、ナロキソンキットを配分しなければならない。

トラック車両群の管理

トラックロード運送会社は、どの荷物をどのドライバーで運ぶかを決定しなければならない。

電力網の計画

電力網は、電力会社と連携し、電力網にかかる予想需要を満たすためにどの発電機を稼働させるべきかを決定しなければならない。

不確実性がパフォーマンスに与える影響

これまで12種類の不確実性のクラスを識別してきたが、不確実性がモデルの挙動に影響を与える方法は3通りしかない。

1. 決定がどのように下されるか。
2. モデルで選ばれた決定から得られるパフォーマンス指標。
3. 決定が下された後、次の決定が必要になるまでの間のシステムの推移。

さらに、不確実性が現場でのパフォーマンスに影響を与える方法もある。

4. 現場で実行される決定。
5. 現場で実行される決定に対する実際のパフォーマンス指標。
6. 現場におけるシステムの推移。

不確実性がパフォーマンスに影響を与える方法は、ランダムなコストから、患者が薬にどう反応するか、投資の価格に至るまで数多く存在する。ここではひとまず、不確実性がパフォーマンスにどのように影響するかを識別することに焦点を当てる。

不確実性のさまざまな形態

不確実性を理解するための第一歩は、上で行ったように、不確実性のさまざまな発生源を列挙することである。次のステップは、不確実性が生じるさまざまな形態を記述することである。以下にその一例を示す。

• 微細な変動性 – これは秒単位(場合によっては秒未満)、分単位、時間単位、あるいは日単位の時間スケールで生じることがある。微細な変動性の例は次の通りである。
  • 金融における高頻度取引 – これらの決定は1秒間に何度も行われる。
  • 電力網の周波数調整 – 電圧が狭い範囲内に収まるよう発電機に調整を行わせるため、2秒ごとに送られる信号である。
  • レストランの様々な食品の時間ごとの売上であり、これはサービス提供前にある程度の準備を必要とする場合がある。
  • 図5.1に示す風速の1時間ごとの変動。この図は、予測可能な季節変動という文脈の中での、雲量の1時間から1日単位の変動も捉えている。
  • 小売商品の日次売上。
  • インフルエンザによる入院患者数の日次から週次の変動。
• シフト – プロセスの微細な変動性は通常、平均値の周辺での変動を表すが、時にはその平均値自体がシフトすることがある。例としては次のようなものがある。
  • 小売商品に対するランダムな需要は、その商品または競合商品の価格変更の結果としてシフトすることがある。
  • 感染症による入院率は、病院近くの人口の間で病気が広がるにつれてシフトする。
  • 投資信託からの解約需要は分単位で変動するが、より広範な株式市場が経済の変化に反応する際にシフトする。
  • 住宅への入札を行う人数(例えば、ある不動産業者の場合)は、金利の変化に応じて異なる水準にシフトする。

• バースト、断続的な需要 – これは、ほとんど、あるいは全く活動がない状態が続いた後、急増(バースト)が起こり、その後再び沈静化するというパターンを表す(図5.2を参照)。バーストの例としては次のようなものがある。
  • はしかのような疾病の拡散 – ある病気が地域に入ると、最も脆弱な集団の部分を病気が通過する間、感染者数が増加する期間が生じる。
  • ある商品は売れないままかもしれないが、誰かがたまたまそれを購入し、良い体験をしたことを口コミで広めると、それが彼らのネットワークを通じて飽和するまで広がっていくことがある。
• スパイク – あるプロセスは2つの駆動源を反映することがある。1つは、明確に定義された分布から穏やかな結果を生み出す。もう1つは、最初の分布よりもはるかに大きい、まれにしか起こらない結果を表す。例えば次のようなものである。
  • 電力網における電力価格は5分ごとに更新される。図5.3は2月における実際の電力網のリアルタイム価格を示している。これは、通常の変動よりもはるかに大きい時折発生するスパイクを伴う、ランダムな変化の安定した連続を示している。
  • 嵐によって牛乳、卵、トイレットペーパーの購入が急増する。
  • 空港を通過する嵐により多数のフライトがキャンセルされ、それがさらに、直前のホテル客室予約要求の急増を引き起こすことがある。

• 空間的事象(天候、疾病、規制) – 地域的性質を持つランダムプロセスの例は数多く存在する。以下にいくつかの例を示す。
  • 天候 – 嵐は、悪天候に見舞われた、あるいは悪天候が予報されている地域において、様々なランダムな事象を引き起こす可能性がある。
  • 疾病 – 疾病の伝播はしばしば物理的接触を必要とするため、発生は典型的に地域的パターンをたどる。
  • 規制 – 規制の変更は典型的に政治的境界に従い、それは一国、あるいは一国内の州、地区、または省である場合がある。
• システミックな事象 – これらは、企業全体(国際的境界をまたぐ)、一国全体、あるいは世界的な影響を及ぼしうる事象であり、例えば以下のようなものがある。
  • サイバー攻撃。企業全体の情報の流れに影響を与えうる。
  • 世間の認識 – 公的な出来事は、企業に対して急速に肯定的または否定的な認識を生み出しうる。例えば、あるビール会社がLGBTQコミュニティを支援するキャンペーンを行ったところ、保守的な顧客層から突然の反発を招き、会社全体の売上に影響を与えた。
• 稀な事象 – 稀な事象は、地震、疾病の発生、テロ攻撃など、様々な原因から生じうる。これらは、発生頻度は非常に低いものの、実際に起きた場合には組織に大きな影響を及ぼしうる、認識された事象である傾向がある。
• 不測事態 – このカテゴリーは、起こりうるが前例のない事象を指す。例えば、送電網の運用者は原子力発電所の故障に備えて計画を立てる。これはある国内では一度も起きたことがないかもしれないが、それでも運用者はもし発生した場合に備えたいと考えるかもしれない。

季節性

変動性の別の形態は、一般的に「季節性」という用語で捉えられ、これには様々な形がある。

• 日次周期 – 日周期としても知られ、これらは究極的にはすべて太陽周期に起因するが、人間の活動に強い日次パターンを引き起こしうる。日次周期は典型的に時間単位で離散化されるが、より細かい離散化(5分、1分)が生じる場合もある。
• 曜日 – これは、週の異なる曜日を中心に設定された人間の行動における日次パターンを反映する。
• 週の時間帯 – 時間帯別のパターンは、月曜の朝、金曜の午後、平日と週末の日次パターンといった効果を捉えるために、曜日と時刻の両方に依存する場合がある。
• 月の週 – 製造業ではしばしば月単位で生産を最大化しようとする動きがあり、月末前に製品を出荷しようとするインセンティブが生じる。これは月末に向けての急増、その後の停滞を生み出す。
• 年の月 – これは冬、春、夏、秋というおなじみの季節パターンを捉える。
• 年の週 – 季節の変化は月内でも起こりうるため、季節的な時間の増分として週単位の使用が促される。

図 5.4(左)は、一週間にわたる太陽光発電量を示しており、太陽が生み出すおなじみの、非常に予測可能なパターンを示すと同時に、非常に確率的な雲の存在によってそれが妨げられている様子を示している。図 5.4(右)は、一年を通じた時間ごとの太陽光発電量を示しており、冬季における太陽光発電量の減少が明確に確認できる。

信念の作成

コンピュータ上で不確実性をモデル化する場合、それを表現する方法を見つける必要がある。以下にいくつかの一般的な戦略を示す。

• 過去のデータを既知の確率分布に当てはめる方法 – 過去のデータに当てはめて使用できる確率分布には一群のファミリーが存在し、その中で最もよく知られているのが正規分布である。この豊富なトピックについては後ほど改めて取り上げる。

• 過去のデータを用いてサンプル化された信念モデルを作成する方法 – 交通状況に応じて、ある移動の所要時間が50分から80分の範囲にあるとしよう。この不確実性を表現するには、いくつかの確率分布のいずれかを使用することもできるし、あるいは単に過去の観測値のサンプルを使用することもできる。例えば以下のようなものである。

  (52, 63, 78, 59, 71, 68)

• 過去のデータを用いて分位点分布を作成し、そこからサンプルを抽出する方法 – 図 5.5(左)に示す電力価格の10個の観測値のサンプルがあるとしよう。価格を最小から最大へと並べ替えた後、図 5.5(右)に示す累積確率を示す。したがって、観測値の60パーセントが$86.33以下であると言える。これらは右側の累積分布にプロットされている。

  判断を用いて手動で累積分布を作成することも可能である。

• 起こりうる事象を表す結果を手動で作成する方法 – データがない場合、単に起こりうる結果を作り出すことができる。例えば、台湾から製品を出荷する場合、通常は4週間かかるとしよう。しかし、ハリケーンからスエズ運河での滞留、港湾での労働問題、あるいはテロ攻撃に至るまで、様々な形態の遅延が想定されうる。出荷が最大で9週間かかる可能性を考慮に入れる必要があると感じ、この不測事態に備えて計画を立てるかもしれない。

相関の問題

前節では、推定における不確実性を表現する方法について簡単に概観した。しかし、いったん不確実性を認識する道を進み始めると、はるかに複雑な相関の問題に直面することになる。

異なる形態の相関を説明するために、情報プロセスのいくつかの例を念頭に置くと役立つ。以下のいずれかのデータの流れを検討していると想定しよう。

1. 多数の販売拠点にわたる小売製品の顧客購入。
2. 注文を出してから受け取るまでのリードタイム。
3. 風力発電施設から発電されるエネルギー。
4. 最新のインフルエンザ株による新規感染率。
5. 顧客からさまざまな仕向地へ提示されるトラック輸送台数。

これらは、我々が扱わなければならない情報の流れの種類のほんの一握りに過ぎない。以下では、これらの例を使って3種類の異なる相関について論じる。

• 時間にわたる相関。
• 地理にわたる相関。
• 属性にわたる相関。

時間にわたる相関

すべての逐次決定問題は時間という要素を含んでおり、それは秒、分、時間、日から週、月、さらには年まで、事実上あらゆる時間スケールでありうる。

時間にわたる相関は、我々の5つの問題設定のそれぞれにおいて、以下のように生じうる。

1. 接近する雪嵐は除雪機の需要急増を生み出しうる。悪評は需要減少の期間を生み出しうる。
2. 港湾でのストライキは、数ヶ月にわたって荷揚げ時間を増加させる滞留を生み出しうる。
3. 雨嵐は、数日間続きうる風力発電の増加期間を生み出しうる。
4. ウイルスがある地域に入り込むと、数週間から数ヶ月続きうる感染増加期間を生み出す。
5. プラントがメンテナンスのために停止した場合、ある拠点からの出荷量が1週間減少する可能性がある。

図 5.6は、天候システムがある地域を通過するにつれて、風力から発電されるエネルギーが一定期間にわたって予測値を上回ったり下回ったりする様子を示している。実測値と予測値の間の誤差だけでなく、予測値を上回る、あるいは下回る状態がどれだけの時間続くか、すなわち「交差時間」として知られる量も再現することが重要である。

ランダムな信号を、通常は定数として扱われ推定が必要となる基準平均からの変動として捉えることは、かなり一般的である。実際には、この「基準平均」自体も変動しうるが、それは異なる時間スケールで生じる。例えば、小売店に入ってくる顧客は、各顧客の行動が独立であるため、細かい時間スケールではランダムな結果を表す。しかし、彼らはより緩やかに変化する市場シグナル(広告、口コミ)に反応している場合もある。

時間にわたる相関に関して間違いなく最大の課題は、複数の時間スケールで同時に発生しうるという点である。独立事象(例えば、毎時間何人の人が咳止め薬を求めて店に入ってくるか)は、モデル化がかなり容易である。より長い時間スケールで生じる変動は、より小さい時間スケールにおいて相関のように見えるものを生み出すため、より困難である。

地理にわたる相関

顧客の購買決定、疾病の発生、天候はすべて、地理的に変化するランダムプロセスの例である。政治的境界が相関を制限する場合もあるが、たいていの場合、単純に距離が相関の強さを支配する。

空間的に分布するプロセスは、典型的に非常に高次元で生じる(空間的位置は非常に多く存在する!)。地理的相関を単純化するのは、それが典型的にかなり容易に捉えられるという点である。地理は距離の純粋な関数である場合もあるが、地理的境界や人口移動パターンを反映することもある。幸いなことに、こうした相関を特定し捉えるのに役立つ強力な数学的ツールが存在する。

地理にわたる相関は、我々の5つの問題設定のそれぞれにおいて、以下のように生じうる。

1. 除雪機の需要急増もまた、雪嵐(地域的である)に対応しているため地域的である。
2. 港湾での遅延は、その港が対応する地域における供給の減少を生み出し、港に近い地点ほど相関が高くなる。
3. 雨嵐もまた地域的であり、嵐の影響を受けた地域の風力発電施設からのエネルギー急増を生み出す。同様に、暑熱期間(これも地域的である)は風力の低下期間を生み出す。
4. インフルエンザの拡散は、互いに近い人々の間で伝わるため地域的である。
5. 貨物は、製造プラント(一地点に位置する)の変化、あるいは地域的な力によって駆動されうる需要の変化のいずれかによって生じる。

属性にわたる相関

我々の例の多くは、一連の属性によって特徴づけられる活動を伴っている。

1. 衣料品に対する需要は、似たようなスタイルだが色が異なる衣料品の間で相関を持つ。
2. 共通の投入財(衣料品用の素材、自動車用のチップ、モーター用のレアアース等)を共有する製品は、その投入財が不足している場合、類似したリードタイムの遅延を示す可能性がある。
3. (風力エネルギーについては、属性にわたる相関の明白な使用はない。)
4. 新規感染は、年齢や既往症といった特徴を共有する人々の間で相関している可能性がある。
5. トラック輸送の流れは、共通の商品や製品を輸送している場合に相関しうる。

すべての属性を展開すると、特定の属性の組み合わせに対する観測数が非常に少なく、場合によってはゼロになるほど多数の組み合わせが生じることがしばしばある。こうした問題は、階層的推定法の使用に適しており、そこでは一つまたは複数の属性を無視することで異なる時系列を作成し、それらを加重的に組み合わせて使用する。

演習問題

復習問題

1. 不確実性の12のクラスの名前を挙げ、それぞれについて任意のアプリケーションから一つずつ例を示せ。
2. ランダムプロセスを記述しうる不確実性の7つの形態の名前を挙げ、それぞれを生み出しうる状況を説明せよ。
3. 不確実性がシステムの性能に影響を与えうる方法にはどのようなものがあるか、それぞれについて例を挙げよ。
4. 季節性の4つの形態の名前を挙げよ。
5. 以下の観測値から風速の累積分布を作成せよ。

   (17, 8, 2, 12, 9, 28, 10, 8, 35, 12, 15)

モデリング演習問題

以下の各設定について、前節で示した表に従い、各クラスの中でできるだけ多くの不確実性の形態を見つけよ。

1. 第2章の在庫計画問題。
2. 第2章の家具需要管理問題。
3. 第2章の臨床試験計画。
4. 第2章の大統領選挙の運営。
5. 第2章のサプライチェーンファイナンス。
6. ある程度の複雑さを持つ、自分自身の問題設定を一つ選び、12のクラスを指針として、できるだけ多くの種類の不確実性を特定せよ。