Bridging Decision Problems, Vol. I 問題のフレーミング
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第3章:性能指標

Bridging Decision Problems, Volume I — Framing the Problem · Warren B. Powell

経営には古くからの格言がある：

「測定できないものは管理できない。」

プロセスやシステムのパフォーマンスを改善したいときはいつでも、明確に定義されたパフォーマンス指標を持つことが重要であり、しばしば複数の指標が存在することも認識しておく必要がある。指標に関連する複雑な問題の議論に入る前に、まず認めておかなければならないのは、明確に定義された指標を持たない問題も数多く存在するということである。例えば、誰と結婚するか、大学卒業後にどの仕事に就くか、あるいはどの絵画や彫刻を購入するかといった問題である。もし少なくとも1つの明確に定量化可能な指標を特定するのに苦労するようであれば、あなたの問題はおそらく、分析的思考の恩恵を受けられない、人間の意思決定問題という複雑な領域に属している可能性が高い。

しかし、少なくとも1つの明確で定量化可能な指標を特定できるのであれば、読み進めてほしい。

指標のカテゴリー

指標には非常に幅広い種類があるため、主要なカテゴリーを特定しておくと役立つ。より一般的なカテゴリーには以下のようなものがある：

  1. 財務指標 - これは通貨で測定されるあらゆる指標を含む。以下のように測定されることがある：
    • 総量 - 手元資金、ローン保証、投資額。
    • 単位時間当たり（日、月、四半期、年）、通常はコスト、収益、または利益を表す。
    • リソース単位当たり - 1人当たり、1台の機械当たり、1施設当たり、または1株当たりのドル額。
  2. 生産性指標 - これはドル建てではない指標で、単位時間当たり（診察した患者数、生産単位数、走行距離）およびリソース単位当たり（1人当たり、1台の機械当たり、1施設当たり）で測定されることもある。
  3. 有効性指標 - 材料の強度、薬の効能、製造プロセスの歩留まり、機械の平均故障間隔。
  4. サービスパフォーマンス - 市場や外部の関係者へのサービス提供の質、例えば需要充足率、顧客による評価、学生の就職状況など。
  5. 外部パフォーマンス評価 - 学校のランキング、企業製品の信頼性、売上ランキング、病院の評価。
  6. 行動指標 - 実際の決定と、あらかじめ定められた方向性やガイドラインとの間の乖離。
  7. 推定指標 - 需要、降水量、在庫量といった量、あるいは患者の診断や生産コストといったパラメータをどれだけうまく推定・予測できているか。これらは、事前の推定値と実際のパフォーマンスの観測値を比較する何らかの方法があることを前提としている。

各カテゴリーの指標を評価する方法は2つある：

平均パフォーマンスとリスク指標については、以下の節でさらに議論する。

具体例を示すと理解しやすい。以下に、異なるカテゴリーの指標のリストを示す。

指標のピラミッド

特にビジネスの分野では、指標のリストをまとめることが一般的であり、こうしたリストはかなり長くなることがある。指標に優先順位をつけることは非常に重要であり、図3.1に示すようにピラミッド状に整理することで比較的簡単に行うことができる。図3.1(a)は、企業の最上層（しばしば「Cスイート」と呼ばれる）で働く人にとって、四半期の株価を最大化することが最も重要な目標である場合の、想定される指標の集合を示している。しかし、これらの指標は、製造工場で働く人にとってはあまり参考にならない。そこでは、コストが最も重要な指標であり、それに生産量と品質が僅差で続くことが多い。図3.1(b)は、製造業に携わる人向けに、コストがより重視される別のピラミッドがどのように作られるかを示している。

指標をピラミッドに組織化することは大部分が主観的なものであるが、頂点には最も重要と考えられる単一の指標が存在するべきである。頂点の指標は最大化または最小化されるべきものであるが、他のすべての指標について必ずしも同じことが当てはまるわけではなく、この点については次で取り上げる。

上場企業の経営幹部レベルで用いられる可能性のある指標のピラミッド。
(a)
製造工場で用いられる可能性のある指標のピラミッド。
図 3.1. (b) — (a) 上場企業の経営幹部レベルで用いられる可能性のある指標のピラミッド。(b) 製造工場で用いられる可能性のある指標のピラミッド。

目標、ターゲット、限界値

次に、各指標について何を達成しようとしているのかを明確にする必要がある。指標をパフォーマンス評価に用いるアプローチには3通りある：

パフォーマンスの測定方法には様々なものがあり得るが、最終的にはコンピュータが一連の決定を検討し、どれが最良かを選択できなければならない。

複数の目的の扱い

しばしば、最大化または最小化すべき複数の目的が存在する。多目的最適化に関する膨大な文献が存在するが、最終的にはこれらの指標を単一の効用関数に統合する必要が生じ、それには各指標に重みを割り当てることが求められる。ピラミッドの頂点にある指標（通常は最大化または最小化されるべきもの）は基準として機能することが多く、他の指標はこの頂点の指標に対して相対的に重み付けされる。

複数の指標を単一の効用関数に統合しなければならない場合、それらにどう重みを付けるかという問題が生じる。ピラミッドの頂点にある指標の重みを1.0に設定することを推奨する。これは、他の指標（必ずしも同じ単位ではない）の重みを、頂点の指標に対して相対的にスケーリングしなければならないことを意味する。当初、これらの重みは主観的に設定されることがあるが、最終的には最大化または最小化されている各次元においてある水準のパフォーマンスをもたらす一連の決定に行き着く。ある分野の専門家が特定の次元のパフォーマンスに満足しない場合、通常の対処法は重みを調整し、新たな一連の決定を見た後に再評価することである。

平均パフォーマンス対リスク

ある意思決定プロセスを評価するために20回のシミュレーションを実行する場合、我々は平均パフォーマンスに基づいてその手法を評価していることになる。シミュレータが利用できればこれが可能だが、代替案として、一定期間実際の現場でその手法がどう機能するかを観察する方法もある。この場合、我々は単一の観測サンプルを追跡し、実際のパフォーマンスを用いてその手法を評価していることになる。実際のパフォーマンスを観察することは、たった1つの観測値の平均を取ることに例えられるだろう。

現場での実際のパフォーマンスは、我々が経験するものである。企業にとって、これは損益計算書、および各種財務KPIといった他のパフォーマンス指標をまとめた報告書、さらには在庫の統計や施設・設備の稼働率などに反映される。医療の現場では、新規感染率や過剰摂取による死亡率の平均を見ているかもしれない。ホテルでは、客室稼働率と収益を見るだろう。トラック輸送業では、ドライバー1人当たりの収益と空車走行距離に関する統計を収集する。

さて、企業の通常業務における突然の混乱という問題を考えてみよう。それは、主要な製造工場を破壊する地震や津波かもしれないし、COVIDのような疾病の発生が消費パターンを混乱させることかもしれない。関税戦争が勃発し、世界貿易を著しく混乱させることもあり得る。

我々は第2章を通じて、すでに異なる不確実性の源泉の存在を認識してきたが、なぜここでこれらの新たな不確実性の源泉に注意を向けるのだろうか。これらの重大な出来事の1つが発生した場合、その影響は時間をかけてパフォーマンス指標を蓄積していく中で捉えられるのではないだろうか。

単純な答えは「いいえ」である。サプライチェーンに重大な混乱が生じ、市場にサービスを提供できない期間を経なければならないと想像してみよう。最も重要なのは、問題が解決するまで待つことを望まない顧客が、競合他社に流れてしまう可能性があることである。さらに、工場を稼働させるために必要な部品がないため、多数の従業員を一時解雇しなければならないかもしれない。これは従業員にとって困難な事態であり、不満につながり、最も優秀な従業員はより良い仕事を見つけてしまうかもしれない。

こうした問題は、企業の業績を追跡する通常の会計プロセスでは捉えられない。この理由から、図3.2に示すように、一般に「リスク」(あるいは、企業が重大な出来事から立ち直る能力を指す「レジリエンス」)と呼ばれるものを扱う一連の書籍が存在している。これらの書籍は通常、様々な種類のリスクを定性的に記述するものであり、多くの場合(常にではないが)リスクを処理するための形式的なプロセスを備えていない。

A sample of books on supply chain risk and resilience.
図3.2. サプライチェーンのリスクとレジリエンスに関する書籍の例。

リスクという用語は、不確実性の存在下で決定を下さなければならない場合に一般的に使用される。第2章で取り上げた応用の文脈で生じうるリスクの例としては、以下が挙げられる。

これらの出来事は、通常の業績統計を積み上げるだけでは適切に捉えることができない。このため、非常に低い確率でしか生じないかもしれないこうした出来事は、平均的な、あるいは実際の業績とは別に扱う必要がある。

電力網の管理は、良い実例を提供してくれる。電力網を管理する企業は、最大の発電機(原子力発電所であることが多い)が故障するという事態にも対応できるよう、十分な電力を計画することを求められている。故障は停電を引き起こす。停電による経済的影響を定量化しようとする試みは行われていない。その代わりに、単純に別のカテゴリーとして扱い、大規模な停電に対応できることを要件としているのである。

リスクに関する文献は、おおよそ二つのカテゴリーに分けることができる。

前者のグループ、すなわち図3.2に示したような種類の書籍は、大半の人が回避すべきリスクの例であると一般的に同意するであろう出来事を、平易な英語で記述している。後者のグループは、しばしば高度に理論的でありながら、リスクの特徴づけを明確に定義された確率分布の極端な値に限定する書籍や論文で構成されている。

驚くべきことに、両方の文献のいずれも、リスクが問題となるように見える広範な設定に広く適用できる、リスクの形式的な定義と呼べるものを提供していない。ここではそのような定義を提示するが、まずはシミュレータであれ現場であれ、我々のプロセスのシミュレーションに基づく、当初の目的に対する形式的な名称を提示することから始めよう。

基本目的 – これは、(損益計算書を含むが、それに限定されない)業績指標の通常の積み上げを通じて、現場において我々の意思決定プロセスを時間の経過とともに評価する方法である。企業の場合、これは通常(常にではないが)金額単位で表されるが、公衆衛生の設定における死亡者数、トラック運送会社における運転手一人当たりの積載マイル数、あるいは大統領選挙における得票数であることもある。

これでリスクを定義する準備が整った。

リスク – リスクは二つの側面から構成される。

多くの応用において、リスクはそれ自体の指標として捉えられる。それは、ある限度を超える停電、生産停止を必要とするほどの部品供給の減少、あるいは深刻な健康被害につながる出来事などである。多くの場合、目標はリスク指標をユーザー指定の限度以下に保つことである(我々は常に自身のリスク指標を低減しようとしていると仮定する)。

興味深いことに、リスクに関する数理的な文献では、通常、基本目的とリスク指標を、調整可能なリスクパラメータを用いた単一の効用関数に組み合わせる。これは二つの指標を組み合わせる妥当な方法である可能性はあるが、我々はこの仮定を採用する準備はまだできていない。

なお、基本目的は常に平均、あるいは平均の標本推定値であるのに対し、リスク指標はしばしば平均(あるいは期待値)としてではなく、完全に未知の確率で起こりうる出来事として計算されることに注意しておきたい。

ある時点における決定と、時間をかけての決定

時間の経過とともに決定を下す問題については、膨大な文献が存在する。在庫管理は、新しい注文が判明するにつれて、在庫保有コストと欠品の可能性とを均衡させる、明らかに時間をかけて解かねばならない問題である。しかし、運転手を荷物に割り当てる問題、投資ポートフォリオを均衡させる問題、あるいは倉庫をどこに建設するかを決める問題はどうだろうか。1950年代には、これらの問題のいずれかを単一の時点で解くことさえ、大きな課題であった。

今日では、これらの問題の大規模な事例であっても非常に迅速に解くことができるソフトウェアパッケージが存在するが、それでもなお、時間をかけてうまく機能する決定を下すという課題は残されている。例えば、非常に孤立した地域であるモンタナ州行きの荷物に運転手を割り当てると、その運転手がその荷物を届け終えて次の荷物を見つける必要が生じたときに問題が生じる可能性がある。この荷物の輸送依頼をそもそも受け入れるべきかどうか、そして受け入れるのであればどの運転手を割り当てるべきかを考えなければならない。割り当て問題の連鎖を解くことは図3.3に示されている。我々の株式ポートフォリオは、資産価格が時間とともに変動してもうまく機能しなければならず、倉庫の位置は将来の需要パターンを見越したものでなければならない。

本書が執筆されている時点では、在庫問題は時間をかけて最適化されなければならないことが理解されている。しかし、運転手割り当て問題、ポートフォリオ管理問題、倉庫位置決定問題といった複雑な問題に対する最適化モデルを専門とするコミュニティは、それぞれ、新しい情報の影響と、現在の決定が将来に与える影響を反映させなければならない。我々は、これらの問題をある一時点で解くための強力なソフトウェアパッケージを持っているが、時間をかけての業績を最適化するためのものは何も持っていない。

The assignment problem has to be solved repeatedly, and decisions made at one point in time have an impact on future problems.
図3.3. ここでは、割り当て問題が繰り返し解かれなければならないという現実を示している。さらに、ある時点で下された決定は、将来の問題に影響を及ぼす。

繰り返し解かなければならない問題を扱う場合、以下を捉える必要がある。

新しい情報の到来は、時間をかけて決定を下す際に重大な複雑さをもたらす(そして、時間をかけて解かれるほぼすべての問題は、新しい情報の存在下でそうしなければならない)。例えば、我々の割り当て問題では、新しい情報とは、移動させるべき新しい荷物の到着であるかもしれない。火曜日に移動させるべき新しい荷物は、月曜日に決定を下している時点では分からない。その結果、月曜日に運転手を割り当てる場合、火曜日に依頼されるかもしれない荷物は不確実である。将来依頼される荷物は「ランダム」である(あるいは、数理モデリングのコミュニティが好む用語では「確率的」である)と言うこともできる。

運転手を荷物に割り当てる最適化問題については、新しい荷物の到着と、それ以前の日の運転手割り当てが今日の運転手の状況にどのように影響するかを捉えなければならない。業績を評価するために、以下の手順からなるシミュレーションを実行することになる。

さて、このプロセス全体を再び月曜日から始めて繰り返すが、歩みを進めるにつれて、依頼される荷物の異なる組をサンプリングすることを想像してほしい。これは、時間をかけて決定を下すことをシミュレートできるということを意味し、その結果は全く異なるものになるだろう。

現在の決定が将来に及ぼす影響を考慮しうる、運転手を荷物に割り当てる決定の下し方には様々なものがある。三つの方法があると想像してみよう。各方法を、繰り返しシミュレーションを実行し、その平均を取ることによって評価することができる。例えば、決定を下す各方法についてそれぞれ20回のシミュレーションを実行し、この平均を用いて各方法を評価することができる。

時間をかけて決定を下すことを伴う問題はごく普通のものである。実際、逐次決定問題は決定問題の大部分を占めていると言ってもよいかもしれない。第2章で取り上げた応用のすべてが、逐次決定問題である。例えば、

静的決定問題を解く文献は驚くほど成熟しているにもかかわらず、これらの問題に取り組む学術研究コミュニティが逐次問題をモデル化・解決するための標準的な枠組みを採用していないというのは、やや意外なことである。

これらの論点については、記法をいくらか使い始める第II巻で再び取り上げる。記法なしでは、議論は単なる曖昧な説明に終始してしまう。

心理的な性能指標

最適化に関する文献のほぼ全体は、目的関数と呼ばれる、決定を評価するために使用できる明確に定義された性能指標が存在すると仮定している。目的関数が正確にはわからないこともあるが、その不確実性は定量化できる、あるいは少なくともサンプリングできると仮定する。それに対して、意思決定の心理学に関する文献の多くは、人々が複雑な選択肢をどのように評価するかに焦点を当てている。これはおそらく、こうした問題が最も興味深く、挑戦的な決定問題であることに起因しているのだろう。

本節では、まずいくつかの複雑な指標を特定し、続いて人々がこうした複雑な指標をどのように扱うかについての理論をいくつか紹介する。最後に、脳がどのように「最適化」するかについて簡単に議論する。

複雑な指標

2章の応用例からの複雑な決定問題の例をいくつか挙げる:

これらはいずれも、離散的な選択肢の集合が存在する「知的試行錯誤」問題の例として提示できる(2章の知的試行錯誤の節を参照)。これらの選択を難しくしているのは、a) それらが重要であることと、b) 各選択肢がどれほどうまく機能するかについて相当な不確実性があることである。

複雑な選択肢を伴う問題は、次の3つのクラスに分けることができる:

第一のクラスは最適化文献から相当な注目を集めてきたが、それでもなお、人々が不確実性を扱うための最良の手法を用いずに、頻繁に直面する非常に一般的な状況のままである。第二のクラスもまた一般的なテーマであり、典型的には異なる選択肢を意思決定者に提示し、選択を行わせるという形を取る。第三のクラスは、心理学の文献における一般的な問題である。というのも、(上記に挙げたような)問題では、なぜそれが最良であるかを言語化できないまま、どの選択をしたいかについて直感的な感覚を持っている場合があるからである。

指標形成に関するいくつかの理論

選択肢を評価するための異なる理論の例には、以下のものがある:

プロスペクト理論 - プロスペクト理論の主要な原則には以下が含まれる:

メンタルアカウンティング理論 - これは、人々がお金を完全に交換可能・代替可能なものとして扱うのではなく、心の中に別々の「口座」を作ることによって、金融的な決定を心理的に整理・分類・評価する方法を指す。主要な概念には以下が含まれる:

帰属理論 - 帰属理論は、人々が自分自身や他者の行動の原因をどのように解釈するかを説明するもので、特に成功や失敗といった達成の文脈においてそうである。例えば、消費者は自分の購買決定に理由を割り当てることで、ブランド認知やロイヤルティに影響を与える。因果的属性の3つの次元には以下が含まれる:

これらの帰属は、感情や将来の動機付けに影響を与える。例えば:

脳はどのように最適化を学ぶか

単語のパターンを学習するために使われるニューラルネットワークに知性を帰属させる傾向が、非常に強く見られてきた。パターンを認識することは、実際には重要な形の知性であるとはいえ、それは決定を行うプロセスとは明確に異なるものであり、人間はこれを十分に行う能力を持っている。決定を行うには、食事をすること、快適でいること、痛みを避けること、競争に勝つこと、問題を解決することなどに関連する何らかの目標を達成することに特化した報酬を最大化する能力が必要である。

実は脳には、単にパターンを一致させることとは無関係な目的を最適化するのに役立つ、非常に特定の機能がある。これは報酬受容体として知られる脳の部分によって行われる。これは、脳が快楽、動機付け、そして正または負の強化を経験するのを助けるために、ドーパミンなどの神経伝達物質に反応する特殊化されたタンパク質である。神経伝達物質は分子の錠前のようなもので、正しい化学的な鍵が結合すると活性化し、それが行動を導く神経活動を引き起こす。

報酬受容体の種類には以下がある:

明らかに、これらの信じられないほど複雑な機構についての議論は、本書の範囲をはるかに超えている。ここで述べたい要点は、脳には報酬を最大化するための特定の機構が備わっており、それによって最良の決定を選択できるということである。これは、脳がパターンを識別するための強力な機構とは区別されるプロセスである。それとは対照的に、大規模言語モデルで使われるニューラルネットワークは、パターンやテキストを識別するように訓練されている。これらは単一の目的関数を使用しており、それは(ニューラルネットワークという)関数と訓練データセットとの間の類似性を捉えるものである。

他者のための性能目標の設定

指標の重要な側面の一つは、人やグループの成果を評価する目的で目標を設定することである。これは本質的にマルチエージェント設定を意味しており、そこでは一人の意思決定者が組織内の別の単位に対して性能目標を設定する権限を持つ。マルチエージェント設定では、あるエージェントの目標が、別の(おそらくより上位の)エージェントによる決定である場合がある。

目標の設定は、典型的には階層的な形で組織された複数の意思決定単位を持つ組織の文脈において、特に豊かな領域である。この話題については、今後の巻で再び取り上げることにする。

演習問題

復習問題

  1. 性能指標の例を5つ挙げなさい。
  2. 目的(objectives)、目標(targets)、限界(limits)とは何を意味するか?これら3つのカテゴリーそれぞれに当てはまる指標の例を挙げなさい。2章のいずれかの例から指標を用いてよい(すべてが同じ例から来る必要はない)。
  3. リスクイベントとは何か?次の立場にある場合のリスクイベントの例を挙げなさい:
    1. ある地域の電力網の運用者。
    2. 患者と共に糖尿病を管理する医師。
    3. サプライチェーンの最高財務責任者。
  4. 人々が選択肢をどのように評価するかについての理論を2つ挙げなさい。
  5. 脳が特定の行動に報酬を与えるために使用する受容体を4つ挙げなさい。
  6. 演習3のリスクイベントの各例について、そのイベントに対するリスク指標を設計しなさい。

モデリング演習

以下の各問いについて、指定された意思決定者を前提として、指定されたアプリケーションに提供された指標を用いて指標ピラミッドを設計しなさい。

  1. あなたはエアコンの部品のサプライヤーを選定するサプライチェーンマネージャーである。サプライヤーは世界中のどこにでも存在しうる。
  2. あなたは家具小売店のために、さまざまな種類の家具の在庫を補充しなければならない。
  3. あなたは新しい発電設備への投資を計画しなければならない(これらの発注は最大5年先まで行われる)。
  4. あなたはホテルのレベニューマネージャーである。
  5. あなたは糖尿病患者の治療法を選択する医師である。
  6. あなたは州内の各郡にナロキソンキットを配分しなければならない州職員である。
  7. あなたはどの薬剤を第II相試験に進めるかを選択しなければならない製薬会社である。
  8. あなたは大統領選挙の選挙対策責任者である。
  9. あなたはトラック輸送会社の業務担当副社長であり、ディスパッチャー(ドライバーを積荷に割り当てる担当者)とロードマネージャー(どの積荷を輸送するかを扱う担当者)を管理しなければならない。
  10. あなたは、どれだけの現金を手元に保持すべきかを決定しなければならないミューチュアルファンドのマネージャーである。